The Relation Between Offset and Conchoid Constructions

The one-sided offset surface Fd of a given surface F is, roughly speaking, obtained by shifting the tangent planes of F in direction of its oriented normal vector. The conchoid surface Gd of a given surface G is roughly speaking obtained by increasing the distance of G to a fixed reference point O by d. Whereas the offset operation is well known and implemented in most CAD-software systems, the conchoid operation is less known, although already mentioned by the ancient Greeks, and recently studied by some authors. These two operations are algebraic and create new objects from given input objects. There is a surprisingly simple relation between the offset and the conchoid operation. As derived there exists a rational bijective quadratic map which transforms a given surface F and its offset surfaces Fd to a surface G and its conchoidal surface Gd, and vice versa. Geometric properties of this map are studied and illustrated at hand of some complete examples. Furthermore rational universal parameterizations for offsets and conchoid surfaces are provided

Offsets, Conchoids and Pedal Surfaces

We discuss three geometric constructions and their relations, namely the offset, the conchoid and the pedal construction. The offset surface F d of a given surface F is the set of points at fixed normal distance d of F. The conchoid surface G d of a given surface G is obtained by increasing the radius function by d with respect to a given reference point O. There is a nice relation between offsets and conchoids: The pedal surfaces of a family of offset surfaces are a family of conchoid surfaces. Since this relation is birational, a family of rational offset surfaces corresponds to a family of rational conchoid surfaces and vice versa. We present theoretical principles of this mapping and apply it to ruled surfaces and quadrics. Since these surfaces have rational offsets and conchoids, their pedal and inverse pedal surfaces are new classes of rational conchoid surfaces and rational offset surfaces

Approximation with developable surfaces

Abweichender Titel laut Übersetzung der Verfasserin/des VerfassersDie vorliegende Arbeit behandelt die Approximation allgemeiner Flächen durch abwickelbare Flächen. Es sollen im Folgenden unterschiedliche Herangehensweisen an dieses Problem erläutert werden.Zum einen sind dies Ansätze, die ein gegebenes Netz unterteilen, um somit annähernd abwickelbare Bereiche zu erhalten und andererseits Zugänge, die eine gegebene Punktmenge durch abwickelbare Flächen approximieren. Da die gegebenen Flächen bzw. Punktmengen im Allgemeinen nicht abwickelbar sein werden bzw. nicht von einer abwickelbaren Fläche stammen, ist offensichtlich, dass ein Kompromiss eingegangen werden muss. Entweder beschreibt das Ergebnis exakt das gegebene Netz, aber die Segmentierung ist nur annähernd abwickelbar oder die erhaltene Fläche ist abwickelbar, aber beschreibt nicht exakt die gegebene Fläche bzw.Punktmenge, sondern nähert sie nur an. Eine weitere Möglichkeit wäre mit Dreiecksstreifen zu arbeiten, wodurch mitunter eine exakte Beschreibung der Fläche und die Abwickelbarkeit des Ergebnisses gewährleistet ist, allerdings liefern diese Lösungen zumeist eine große Anzahl an Streifen und lange Grenzen, was häufig unerwünscht ist. In den Beispielen, die die Netzsegmentierung behandeln, sind die entstehenden Bereiche annähernd abwickelbar und dies liefert für Anwendungen, die mit flexiblen Materialien arbeiten, etwa Stoff, eine hinreichend gute Genauigkeit, deren Abweichung das Material ausgleicht.6